香农插值公式

根据香农采样定理可知，采样频率不小于连续信号频谱中最高频率2倍的离散信号，可以使用香农插值公式不失真的还原成连续信号。
插值公式如下：
$
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f[n]sinc(\dfrac{t-nM}{M})
$
其中，$f[n]$表示第$n$个采样点的值，M表示采样间隔。

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def signal(t):
    """
    连续信号，频谱中有两个正弦波，周期分别为pi和pi/2，最大频率为2/pi
    :param t: 时间
    :return: 信号值
    """
    return np.sin(t) + np.sin(2 * t)


def restored(t, f, N, M):
    """
    使用香农插值公式，将离散信号还原成连续信号
    :param t: 时间
    :param f: 采样后的离散信号
    :param N: 采样的离散信号点的数量
    :param M: 采样间隔
    :return: 信号
    """
    y = 0
    for n in range(N):
        y += f[n] * np.sinc(t / M - n)
    return y


def main():
    M = np.pi / 4  # 采样间隔，采样频率要大于2倍的2/pi，采样间隔要小于pi/4
    N = 20  # 样本数量
    f = [signal(n * M) for n in range(N)]  # 离散信号点

    x = np.linspace(0, (N - 1) * M, 100)

    ax = plt.subplot(121)
    ax.set_xlabel("t")
    plt.plot(x, signal(x), label="original signal")
    plt.scatter(np.arange(0, N * M, M), f, color="red", label="samples", zorder=3)
    plt.legend()

    ax = plt.subplot(122)
    ax.set_xlabel("t")
    plt.plot(x, restored(x, f, N, M), label="restored signal")
    plt.scatter(np.arange(0, N * M, M), f, color="red", label="samples", zorder=3)
    plt.legend()

    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

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• 本文作者： killf
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