三维坐标系及空间变换

给定一个原点、一个在坐标轴上的点和一个不在坐标轴上点，可以唯一的确定一个3维空间下的直角坐标系。
代码如下：

import numpy as np

# 给定一个原点、一个在坐标轴上的点和一个不在坐标轴上点，可以唯一的确定一个3维空间下的直角坐标系
O = np.array([1., 1., 1.])
X = np.array([2., 3., 4.])
P = np.array([2., 3., 5.])

# 1.确定x方向
x = X - O
x = x / np.linalg.norm(x)

# 2.确定y方向
p = P - O
y = p - np.dot(p, x) * x
y = y / np.linalg.norm(y)

# 3.确定z方向
z = np.cross(x, y)

# 4.验证
print(np.dot(x, y), np.dot(y, z), np.dot(z, x))
print(np.linalg.norm(x), np.linalg.norm(y), np.linalg.norm(z))

使用原点和一组正交基来表示一个坐标系，将坐标由原空间变换到目标空间，就是求向量在每个基上的投影，将坐标由目标空间变换到原空间，就是求基的线性组合。
代码如下：

# 5.坐标变换：原空间->目标空间
S = np.array([4, 4, 4])
T = np.dot(np.stack([x, y, z]), S - O)

# 6.坐标变化：目标空间->原空间
N = np.dot(np.stack([x, y, z], axis=1), T) + O
print(np.allclose(S, N))

由正交基组成的矩阵，其逆与转置相同，代码如下：

# 7.由正交基组成的矩阵，其逆矩阵和转置矩阵相同
b = np.stack([x, y, z], axis=1)
print(np.allclose(b.T, np.linalg.inv(b)))

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• 本文作者： killf
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